Swansea – Plate bending and non-structural problems
Dylid cydnabod bod y dull elfennau meidraidd eisoes yn dechneg adnabyddus pan ddechreuodd Olek a'i gydweithwyr ymchwilio iddo yn Abertawe ym 1961. Gosodwyd sylfeini mathemategol y dechneg yn negawdau cynnar y ganrif ddiwethaf, gyda chyfraniadau gan Ritz, Galerkin Courant ac eraill. Yn y gymuned elfennau meidraidd, priodolir tarddiad y dull i'r cyfraniad gan Hrenikoff a McHenry (1941) a amcangyfrifodd, drwy reddf beirianyddol, ymateb plât drwy system fframwaith gyfatebol. Rhaid cydnabod hefyd Courant (1943) a ddatblygodd ymagwedd fathemategol fwy trylwyr at ddatrys problem dirdro drwy isrannu'r parth yn is-rannau trionglog. Roedd cynnydd o'r cyfnod hwnnw ymlaen yn araf, wedi'i rwystro, yn ddiamau, gan ddiffyg pŵer cyfrifiadura nes i'r papur adnabyddadwy cyntaf ar elfennau meidraidd, gan Turner, Clough, Martin a Topp ymddangos ym 1956. Erbyn diwedd y degawd hwnnw, roedd corff sylweddol o lenyddiaeth wedi cronni a bathwyd y term 'elfen feidraidd' gan R W Clough o Brifysgol Berkeley, Califfornia, ym 1960. Yn y cyd-destun hwn, y mentrodd Olek i faes ymchwil i elfennau meidraidd. Dylid nodi bod J H Argyris FRS o Goleg Imperial, yn ddiweddarach o Brifysgol Stuttgart, wedi dechrau ymchwilio i elfennau meidraidd, a datblygodd gyrfaoedd y ddau ar lwybrau cyfochrog am y pedwar degawd nesaf, a chafwyd cyfraniadau blaenllaw gan y ddau at y maes. I ddefnyddio geiriau Zienkiewicz ei hun (5) i ddisgrifio'r sefyllfa:
“My own introduction to finite elements dates back to 1958 when I first met Clough. With much of my earlier work being based on finite difference calculus (and relaxation methods – as an ex-member of the Southwell team in the 1940s), I naturally contested at first the merits of the new method which seemed to concentrate on the solution of problems which by then we were fully capable of solving. However, in one area of structural analysis the merit of subdivision seemed obvious. That was the field of shell analysis where the difficulties of formulating differential equations in curvilinear coordinates and subsequently applying finite difference approximations could be easily sidestepped by considering a shell to be composed of a series of simple, flat, triangular elements. It was in this area of activity that I made my first start (1962) – not yet realising that the search for a good triangular element to represent plate flexure was to be fraught with difficulties. This problem also motivated the research of Ray Clough and with a friendly competition we arrived at our goal some three years later presenting a series of triangular plate and shell elements at the Wright-Patterson Conference of 1965”
Gwnaeth Cynhadledd Wright-Patterson, a gynhaliwyd yn Dayton, Ohio, ym 1965, dorri tir newydd ym maes dadansoddi elfennau meidraidd ac roedd papur (6) a ddisgrifiodd yr elfennau plygu plât trionglog cyntaf gan y grŵp yn Abertawe, yn cynnwys nifer eithriadol o syniadau pwysig newydd. Un oedd y defnydd o gyfesurynnau ardal ar gyfer integreiddio dros ardaloedd trionglog. Un arall o gyfraniadau'r papur oedd y syniad o'r prawf patsh. Roedd y papur wedi disgrifio dwy elfen feidraidd, nad oedd un ohonynt yn cydymffurfio. Mewn fformwleiddiad elfen feidraidd ddadleoli, sicrheir parhad dadleoli ar draws ffiniau’r elfen, o ganlyniad i ddisgrifio maes dadleoli'r elfen yn nhermau dadleoliadau nodol rhyngwynebol (cyffredin); serch hynny, mae tyniannau'r elfen ryngwyneb fel arfer yn doredig gan fod diriannau'r elfen yn deillio o frasamcan o faes y dadleoliad ar sail elfen unigol. Disgrifir elfennau o'r math hwn fel rhai nad ydynt yn cydymffurfio. Nid oedd elfennau o'r fath yn newydd ym maes dadansoddi elfennau meidraidd, ond nid oedd neb wedi ceisio pennu meini prawf ar gyfer eu cydgyfeiriant.
Ar y pryd, roedd Bruce Irons, cyd-awdur y papur, yn gweithio yn Rolls Royce a byddai ef hefyd ymhen amser yn gweithio gyda Zienkiewicz yn Abertawe. Nododd ef yr amodau byddai’n rhaid eu bodloni wrth ddewis ffwythiannau brasamcanu a, rhag ofn na fyddai'r amod o ran cydymffurfiad rhwng elfennau'n cael ei fodloni, dyfeisiodd brawf syml i'w ddefnyddio gyda chasgliad, neu 'batsh' o elfennau. Profwyd bod y prawf patsh o bwys hanfodol mewn damcaniaeth elfennau meidraidd. Hefyd yn y cyfarfod hwn cyfarfu J Tinsley Oden, un o arloeswyr y dull elfennau meidraidd, ag Oleg am y tro cyntaf (7):
“I first met Olek at the Dayton finite element meetings in the mid 1960s, which is where some say the finite element method, being born in the mid 1950s, reached its adolescence. There were a number of original and important works that formed the foundations of the subject that were presented there by engineers and scientists working in this new and exciting field. Of course, Olek was already known to many there because of his first textbook on finite elements, co-authored with Y K Cheung. Olek’s intense interest and warmth was intriguing. We hit it off immediately and began a friendship that lasted until his passing some four decades later”
Parhaodd gwaith ar y syniad o'r prawf patsh dros y blynyddoedd. Gan gydweithredu â Robert L Taylor, estynnodd y dull i fformwleiddiadau elfennau cymysg, lle ystyrir bod termau dadleoliad a diriant yn brif amrywiadau (8). Defnyddiwyd y dull wedyn i sicrhau cydgyfeiriant rhai mathau o elfen newydd ar gyfer platiau (9, 10).
Yn ystod y cyfnod hwn, rhoddwyd y dull elfennau meidraidd ar waith ym myd diwydiant am y tro cyntaf, o leiaf yn Ewrop, ym 1963 pan gynhaliodd Zienkiewicz a'i gydweithwyr y dadansoddiad diriant cyntaf o argae Clywedog yng nghanolbarth Cymru. Fel y gellir ei weld o Ffigur 2, sy'n dangos yr argae a'r arwahanu (discretisation) o'r elfen feidraidd a ddefnyddiwyd, roedd y rhwyll yn arw iawn yn ôl safonau heddiw; roedd hyn yn adlewyrchu'r pŵer cyfrifiadol cyfyngedig a oedd ar gael ar y pryd. Serch hynny, darparodd y dadansoddiad ddealltwriaeth werthfawr o ymddygiad yr argae a'i sylfeini.
Ym 1965 cyhoeddwyd papur a fyddai'n cael effaith sylweddol yn y blynyddoedd diweddarach, sef ‘Finite Elements in the Solution of Field Problems’ (11), a ysgrifennwyd ar y cyd ag Y K Cheung. Hyd at y cyfnod hwn, roedd y dull wedi bod yn gyfyngedig i broblemau mecaneg adeileddol, drwy ehangu technegau ar gyfer dadansoddi fframweithiau yn ddull i ddadansoddi continwa elastig. O ganlyniad, roedd y fethodoleg yn dibynnu'n helaeth ar theorem cyfanswm ynni posib. Roedd Zienkiewicz yn gallu gweld ynddo offeryn mwy cyffredinol a allai ddadansoddi pob math o broblemau mewn ffiseg fathemategol a allai gael eu disgrifio yn nhermau hafaliad differol â ffin ac amodau cychwynnol sefydlog. Drwy ddefnyddio dulliau gweddilliol pwysol, ac ymagwedd Galerkin yn benodol, gellid cael atebion cyfrifiadol ar gyfer mathau o broblem lle na ellir cael ffwythiant posib yn hawdd. Yn benodol, nododd y dull fel cynllun ar gyfer datrys hafaliad Laplace, sy'n rheoli ymddygiad hylifau delfrydol a dirdro adrannau prismatig. Aeth Oleg a'i gydweithwyr ati'n fuan i ehangu'r syniadau hyn er mwyn ymdrin â phroblemau trosglwyddo gwres (12) ac electromagneteg.