Gwaith Zienkiewicz

Yn ystod ei flynyddoedd yng Nghaeredin, ymroddodd yn bennaf i'w waith ar ddamcaniaeth iriad. Disgrifir un o ganlyniadau pwysig y gwaith hwn yng Nghyfeiriad 2, sy’n cynnig damcaniaeth iriad arwyddocaol newydd, gan ddangos y gellir cyflawni codiad oherwydd dosbarthiad tymheredd ar draws y ffilm. Ar ôl symud i Northwestern, ymroddodd yn bennaf i bynciau ym maes mecaneg soled. Papur trawiadol, ac un a dorrodd dir newydd, oedd Cyfeiriad 3, sy'n cyfuno rhaglennu llinol a damcaniaeth dylunio plastig, i greu ymagwedd unedig ar sail cyfrifiadur at ddyluniad elastig adeileddau trawst a ffrâm. Mae A Charnes, ei gyd-awdur, yn ffigur pwysig yn natblygiad rhaglennu llinol ac mae'r papur yn disgrifio ymagwedd gyffredinol at y broblem. Mae'n amlinellu, efallai am y tro cyntaf, y cysylltiad rhwng deuoliaeth mewn algorithmau rhaglennu llinol a deuoliaeth yn fformwleiddiad y broblem dadansoddi terfyn. Hwn yw un o'r papurau cyntaf i ddefnyddio methodoleg newydd rhaglennu mathemategol mewn mecaneg adeileddol.

Cyfres arall o bapurau o'r cyfnod yn Northwestern sy'n haeddu sylw penodol yw'r rhai hynny a ysgrifennwyd ar y cyd ag R W Gerstner. Mae'r set o bapurau'n ymwneud yn bennaf ag ymagwedd gyffredinol at broblemau elastigedd (e.e. Cyfeiriad 4) lle caiff datrysiadau union a rhifiadol eu cyfuno, lle gwneir y datrysiad rhifiadol fel cywiriad i'r datrysiad union.

Swansea – Plate bending and non-structural problems

Dylid cydnabod bod y dull elfennau meidraidd eisoes yn dechneg adnabyddus pan ddechreuodd Olek a'i gydweithwyr ymchwilio iddo yn Abertawe ym 1961. Gosodwyd sylfeini mathemategol y dechneg yn negawdau cynnar y ganrif ddiwethaf, gyda chyfraniadau gan Ritz, Galerkin Courant ac eraill. Yn y gymuned elfennau meidraidd, priodolir tarddiad y dull i'r cyfraniad gan Hrenikoff a McHenry (1941) a amcangyfrifodd, drwy reddf beirianyddol, ymateb plât drwy system fframwaith gyfatebol. Rhaid cydnabod hefyd Courant (1943) a ddatblygodd ymagwedd fathemategol fwy trylwyr at ddatrys problem dirdro drwy isrannu'r parth yn is-rannau trionglog. Roedd cynnydd o'r cyfnod hwnnw ymlaen yn araf, wedi'i rwystro, yn ddiamau, gan ddiffyg pŵer cyfrifiadura nes i'r papur adnabyddadwy cyntaf ar elfennau meidraidd, gan Turner, Clough, Martin a Topp ymddangos ym 1956. Erbyn diwedd y degawd hwnnw, roedd corff sylweddol o lenyddiaeth wedi cronni a bathwyd y term 'elfen feidraidd' gan R W Clough o Brifysgol Berkeley, Califfornia, ym 1960. Yn y cyd-destun hwn, y mentrodd Olek i faes ymchwil i elfennau meidraidd. Dylid nodi bod J H Argyris FRS o Goleg Imperial, yn ddiweddarach o Brifysgol Stuttgart, wedi dechrau ymchwilio i elfennau meidraidd, a datblygodd gyrfaoedd y ddau ar lwybrau cyfochrog am y pedwar degawd nesaf, a chafwyd cyfraniadau blaenllaw gan y ddau at y maes. I ddefnyddio geiriau Zienkiewicz ei hun (5) i ddisgrifio'r sefyllfa:

“My own introduction to finite elements dates back to 1958 when I first met Clough. With much of my earlier work being based on finite difference calculus (and relaxation methods – as an ex-member of the Southwell team in the 1940s), I naturally contested at first the merits of the new method which seemed to concentrate on the solution of problems which by then we were fully capable of solving. However, in one area of structural analysis the merit of subdivision seemed obvious. That was the field of shell analysis where the difficulties of formulating differential equations in curvilinear coordinates and subsequently applying finite difference approximations could be easily sidestepped by considering a shell to be composed of a series of simple, flat, triangular elements. It was in this area of activity that I made my first start (1962) – not yet realising that the search for a good triangular element to represent plate flexure was to be fraught with difficulties. This problem also motivated the research of Ray Clough and with a friendly competition we arrived at our goal some three years later presenting a series of triangular plate and shell elements at the Wright-Patterson Conference of 1965”

Gwnaeth Cynhadledd Wright-Patterson, a gynhaliwyd yn Dayton, Ohio, ym 1965, dorri tir newydd ym maes dadansoddi elfennau meidraidd ac roedd papur (6) a ddisgrifiodd yr elfennau plygu plât trionglog cyntaf gan y grŵp yn Abertawe, yn cynnwys nifer eithriadol o syniadau pwysig newydd. Un oedd y defnydd o gyfesurynnau ardal ar gyfer integreiddio dros ardaloedd trionglog. Un arall o gyfraniadau'r papur oedd y syniad o'r prawf patsh. Roedd y papur wedi disgrifio dwy elfen feidraidd, nad oedd un ohonynt yn cydymffurfio. Mewn fformwleiddiad elfen feidraidd ddadleoli, sicrheir parhad dadleoli ar draws ffiniau’r elfen, o ganlyniad i ddisgrifio maes dadleoli'r elfen yn nhermau dadleoliadau nodol rhyngwynebol (cyffredin); serch hynny, mae tyniannau'r elfen ryngwyneb fel arfer yn doredig gan fod diriannau'r elfen yn deillio o frasamcan o faes y dadleoliad ar sail elfen unigol. Disgrifir elfennau o'r math hwn fel rhai nad ydynt yn cydymffurfio. Nid oedd elfennau o'r fath yn newydd ym maes dadansoddi elfennau meidraidd, ond nid oedd neb wedi ceisio pennu meini prawf ar gyfer eu cydgyfeiriant.

Ar y pryd, roedd Bruce Irons, cyd-awdur y papur, yn gweithio yn Rolls Royce a byddai ef hefyd ymhen amser yn gweithio gyda Zienkiewicz yn Abertawe. Nododd ef yr amodau byddai’n rhaid eu bodloni wrth ddewis ffwythiannau brasamcanu a, rhag ofn na fyddai'r amod o ran cydymffurfiad rhwng elfennau'n cael ei fodloni, dyfeisiodd brawf syml i'w ddefnyddio gyda chasgliad, neu 'batsh' o elfennau. Profwyd bod y prawf patsh o bwys hanfodol mewn damcaniaeth elfennau meidraidd. Hefyd yn y cyfarfod hwn cyfarfu J Tinsley Oden, un o arloeswyr y dull elfennau meidraidd, ag Oleg am y tro cyntaf (7):

“I first met Olek at the Dayton finite element meetings in the mid 1960s, which is where some say the finite element method, being born in the mid 1950s, reached its adolescence. There were a number of original and important works that formed the foundations of the subject that were presented there by engineers and scientists working in this new and exciting field. Of course, Olek was already known to many there because of his first textbook on finite elements, co-authored with Y K Cheung. Olek’s intense interest and warmth was intriguing. We hit it off immediately and began a friendship that lasted until his passing some four decades later”

Parhaodd gwaith ar y syniad o'r prawf patsh dros y blynyddoedd. Gan gydweithredu â Robert L Taylor, estynnodd y dull i fformwleiddiadau elfennau cymysg, lle ystyrir bod termau dadleoliad a diriant yn brif amrywiadau (8). Defnyddiwyd y dull wedyn i sicrhau cydgyfeiriant rhai mathau o elfen newydd ar gyfer platiau (9, 10).

Yn ystod y cyfnod hwn, rhoddwyd y dull elfennau meidraidd ar waith ym myd diwydiant am y tro cyntaf, o leiaf yn Ewrop, ym 1963 pan gynhaliodd Zienkiewicz a'i gydweithwyr y dadansoddiad diriant cyntaf o argae Clywedog yng nghanolbarth Cymru. Fel y gellir ei weld o Ffigur 2, sy'n dangos yr argae a'r arwahanu (discretisation) o'r elfen feidraidd a ddefnyddiwyd, roedd y rhwyll yn arw iawn yn ôl safonau heddiw; roedd hyn yn adlewyrchu'r pŵer cyfrifiadol cyfyngedig a oedd ar gael ar y pryd. Serch hynny, darparodd y dadansoddiad ddealltwriaeth werthfawr o ymddygiad yr argae a'i sylfeini.

Ym 1965 cyhoeddwyd papur a fyddai'n cael effaith sylweddol yn y blynyddoedd diweddarach, sef ‘Finite Elements in the Solution of Field Problems’ (11), a ysgrifennwyd ar y cyd ag Y K Cheung. Hyd at y cyfnod hwn, roedd y dull wedi bod yn gyfyngedig i broblemau mecaneg adeileddol, drwy ehangu technegau ar gyfer dadansoddi fframweithiau yn ddull i ddadansoddi continwa elastig. O ganlyniad, roedd y fethodoleg yn dibynnu'n helaeth ar theorem cyfanswm ynni posib. Roedd Zienkiewicz yn gallu gweld ynddo offeryn mwy cyffredinol a allai ddadansoddi pob math o broblemau mewn ffiseg fathemategol a allai gael eu disgrifio yn nhermau hafaliad differol â ffin ac amodau cychwynnol sefydlog. Drwy ddefnyddio dulliau gweddilliol pwysol, ac ymagwedd Galerkin yn benodol, gellid cael atebion cyfrifiadol ar gyfer mathau o broblem lle na ellir cael ffwythiant posib yn hawdd. Yn benodol, nododd y dull fel cynllun ar gyfer datrys hafaliad Laplace, sy'n rheoli ymddygiad hylifau delfrydol a dirdro adrannau prismatig. Aeth Oleg a'i gydweithwyr ati'n fuan i ehangu'r syniadau hyn er mwyn ymdrin â phroblemau trosglwyddo gwres (12) ac electromagneteg.

Mae'n ddigon hysbys bod cynrychiolaeth isobarametrig yn hanfodol i lawer o agweddau modern ar ddadansoddiad elfennau meidraidd. Deilliodd hanfod y syniad o gyfraniadau gan Ian Taig o'r British Aircraft Corporation (rhagflaenydd British Aerospace) a Bruce Irons, a oedd yn gweithio i Rolls Royce ar y pryd. Disgrifiodd Taig gynllun ar gyfer aflunio siâp elfen betryal i greu ffurf bedrochr mewn cyfraniad at Symposiwm Abertawe 1963 (14). Wedyn, cyhoeddodd Irons nodyn yn yr AIAA Journal a ddisgrifiodd, yn gyffredinol, yr ymagwedd fel mae'n cael ei hadnabod heddiw, gan fathu'r term 'isobarametrig'.

Gwnaeth cyfraniad Cyfeiriad 15 gan Abertawe grynhoi’r syniadau a gyflwynwyd yn y cyfraniadau cynharach gan ffurfioli'r dull i'w roi ar waith yn gyffredinol. Tua'r adeg hon, gwelodd Thomas J R Hughes Olek yn y cnawd am y tro cyntaf mewn seminar yn Sefydliad Technoleg Massachusetts (16).

“There was a lot of excitement in the room because Olek was about to present the ‘isoparametric concept’, which ultimately revolutionised the subject, but the image that remains in my mind was he began the lecture with the picture of a man made out of finite elements. It got a big laugh. At the time it was so incongruous to think of a man made out of finite elements, but now it is a serious business. Who could have thought at that time we would be eventually using medical imaging data to build anatomically and physiologically realistic models of real people for simulating medical interventions”.

Mae'r darlun cynnar hwn y bwriedir iddo gyfleu'r neges y dylai astudio elfennau meidraidd fod yn weithgaredd i'w fwynhau, wedi'i atgynhyrchu yn Ffigwr 3.

Elfennau cragen

Er bod defnyddio elfennau meidraidd plât gwastad i ddadansoddi adeileddau cragen grom yn foddhaol mewn nifer o sefyllfaoedd, mae gan y dull hwn gyfyngiadau difrifol mewn sefyllfaoedd eraill. Daeth hyn yn amlwg tua diwedd y 1960au, gan sbarduno gweithgarwch eang i fformiwleiddio elfennau meidraidd cragen grom. Y llwybr amlwg i gyrraedd y nod hwn oedd drwy ddamcaniaeth brofedig cragen denau. Fodd bynnag, roedd syniadau eraill gan Zienkiewicz ac ers amser hir roedd wedi mynegi ei ddiddordeb mewn dull symlach o ddadansoddi cregyn. Yn hytrach na defnyddio damcaniaeth Love-Kirchhoff, argymhellodd anwybyddu unrhyw ddamcaniaeth gragen a defnyddio elfennau meidraidd cyffredinol. Roedd y syniad yn arbennig o ddeniadol yn sgîl dyfodiad cysyniad cynrychiolaeth isobarametrig, a fyddai'n hwyluso disgrifio geometreg grom.

Esboniwyd cysyniad dirywio soledau i greu elfennau cragen am y tro cyntaf ym 1968 (17) yn Ail Gynhadledd Dulliau Matrics mewn Mecaneg Adeileddol yng Nghanolfan Llu Awyr Wright-Patterson, Ohio, ac yn ddiweddarach ym 1970 (18). Gwnaeth y papurau hyn baratoi'r ffordd i archwilio llwybrau a gafodd eu dilyn gan lawer o awduron wedi hyn. Fodd bynnag, nid oedd modd dyblygu ymddygiad cregyn gwirioneddol denau. Llwyddwyd i oresgyn yr her hon ym 1971 pan nododd Zienkiewicz, R L Taylor a J M Too (19) mai cynrychiolaeth afresymol o ffenomena croeswasgu ardraws oedd ffynhonnell yr anhawster. Datryswyd yr anhawster drwy ddefnyddio sgwariad integreiddio rhifiadol llai wrth werthuso cyfraniad y croeswasgu at y term anystwythder a oedd yn is na'r hyn y byddai ei angen i werthuso'r integryn hwn yn fanwl gywir. Galwyd y ffwythiant hwn yn 'integreiddio llai'. Mae Bob Taylor yn disgrifio cefndir y gwaith hwn fel a ganlyn (20):

“In 1968 when travelling to the Second Conference on Matrix Methods in Structural Mechanics in Dayton, Ohio, I met Olek for the first time in person and I was pleased to be invited to Swansea for the academic year 1969-70. Fate stepped in that year to keep Olek near Swansea as he had an operation to adjust the alignment of his leg to ease difficulties in walking. During his post-operative recovery in Singleton Hospital and later at his home, we met regularly to discuss the possibility of solving shell problems using curved three-dimensional elements – often over a glass of whiskey, which unfortunately may have contributed to a blood clot in his leg that prolonged his recovery period. Working with Olek’s doctoral student James Too, we did succeed in developing a successful shell formulation based on an isoparametric brick combined with shell approximations and reduced integration”.

Yn y blynyddoedd diweddarach, dyfeisiwyd ffyrdd o ddefnyddio cysyniad integreiddio llai mewn gwaith ar agweddau eraill ar y dull elfennau meidraidd. Dilynwyd cyfeiriad eithaf gwahanol ym maes dadansoddi plygiad platiau ym 1978 (21) pan fabwysiadwyd damcaniaeth Reissner-Mindlin, a oedd yn cynnwys disgrifio'r dadleoliad ardraws a'r meysydd llethr (cylchdro) yn annibynnol. Unwaith eto, mae cysyniad integreiddio llai yn hanfodol i gofnodi ymddygiad platiau tenau. Erbyn hyn, fodd bynnag, gellid cysylltu'r math o integreiddio i'w ddefnyddio ar sail resymol â geometreg yr elfen a'r ffwythiannau brasamcanu tybiedig.

Aflinoledd Materol

Ym 1966, trodd sylw Olek a'i gydweithwyr at ddadansoddiad anelastig. Problemau dibynnol ar amser oedd y rhai cyntaf ym maes problemau anelastig i dynnu sylw Zienkiewicz. Ym 1966, ar y cyd ag M Watson, fformiwleiddiodd ddulliau elfennau meidraidd ar gyfer dadansoddi adeileddau concrid a oedd yn cael eu anffurfio oherwydd ymgripiad (22). Yna, ar y cyd â Watson a King (23), ystyriodd y broblem fisco-elastig gyffredinol o fewn fframwaith dadansoddi elfennau meidraidd.

Cynrychiolodd cyfeiriad (24) gyfraniad pwysig at ddatrys problemau anelastig annibynnol ar amser drwy ddadansoddi elfennau meidraidd. Yn wir, roedd cyfraniadau gan eraill wedi rhagflaenu'r papur hwn, ond cyfunodd y gwaith hwn nodweddu ymddygiad deunyddiau o ran damcaniaeth gynyddrannol a dull newydd ar gyfer symud ar hyd y gromlin dadleoli llwyth. Roedd y dull hwn, a alwyd yn ymagwedd 'diriant cychwynnol' ar y pryd yn welliant sylfaenol wrth fodelu problemau anelastig yn gyfrifiadol.

O ganlyniad i gydweithredu â dau fyfyriwr PhD, cafwyd datblygiadau pellach ym maes dadansoddi anelastig. Cynhaliwyd astudiaethau helaeth o fodelu problemau plastigrwydd ar y cyd â G C Nayak (25). Tri chyfraniad nodedig yw'r hyn a elwir yn algorithm 'anystwythder cysonyn alffa' ar gyfer datrys hafaliadau algebraidd yn iterus ym maes dadansoddiad elfennau meidraidd aflinol (26). Dyma ffurf gyfleus ar drydydd sefydlyn y tensor diriant sy'n addas ar gyfer cyfrifiannau arwyneb ildio (27) ac adolygiad a unodd y cysylltiadau cyfansoddol ar gyfer dadansoddiad elasto-plastig drwy'r dull elfennau meidraidd.

Roedd y cydweithrediad arall, gydag I Cormeau, yn ymwneud â chysyniad fisco-plastigrwydd. Roedd Olek, ers amser hir, wedi rhagweld cynllun ar gyfer ymdrin â ffenomena anelastig dibynnol ar amser ac annibynnol ar amser drwy'r un strwythur algorithmig. Cyhoeddwyd y papur cyntaf yn datblygu'r ymagwedd hon ym 1972 (29). Un o sgîl-gynhyrchion yr ymdrech hon oedd nodi maen prawf rhesymegol ar gyfer pennu maint y cyfnod-amser ar gyfer ansefydlogrwydd mewn dadansoddiadau aflinol dibynnol ar amser. Byddai'r ymagwedd fisco-plastig hon yn cael ei defnyddio'n helaeth yn ddiweddarach wrth ddadansoddi allwthiad a phrosesau ffurfio (30) ac amrywiaeth o broblemau geo-dechnegol.

Tua'r adeg hon, cyflwynwyd cysyniad 'model troshaen' ar gyfer deunyddiau lle mae nodweddu'r ymateb cyfansoddol yn nhermau un arwyneb ildio yn annigonol. Cafodd yr ymagwedd droshaen, lle cyflwynir cyfres o arwynebau ildio, ei fformiwleiddio gan Zienkiewicz a'i gydweithwyr yn (33, 34).

Problemau llif

Dechreuodd y gwaith ar broblemau llif ym mhapur 1965 ar y cyd â Cheung, fel y'i trafodwyd yn gynharach, ac aeth ymlaen i drin tryddiferu, electromagneteg a throsglwyddo gwres. Paratôdd hyn y ffordd i ystyried y problemau mwy soffistigedig sy'n cynnwys termau darfudol ac aflinoledd, megis llif gludiog, anghywasg a ddisgrifir gan hafaliadau Navier-Stokes. Dechreuodd cyfraniadau Zienkiewicz at yr ail bwnc hwn ymddangos ym 1973, yn enwedig ei Anerchiad Cyflwyniadol i'r Symposiwm Cyntaf ar Elfennau Meidraidd mewn Problemau Llif ym 1974 (35).

Fodd bynnag, parhaodd anawsterau sylweddol o ran datrys problemau ymarferol. Roedd un anhawster o'r fath, a oedd eisoes wedi cael ei gydnabod yn helaeth yn y llenyddiaeth am wahaniaeth meidraidd, yn ymwneud â'r ffaith bod y termau darfudol, a ysgrifennir yn nhermau cyflymderau yn yr hafaliadau momentwm, yn gymesur â'r deilliad cyntaf tra bo’r term gludiog yn gymesur â'r ail ddeilliad. Mae'r un olaf yn trechu ar werthoedd isel rhif Reynolds tra bo’r gwrthwyneb yn wir ar gyfer rhif Reynolds uchel. Ceir ansefydlogrwydd rhifiadol wrth i un gynyddu o fuanedd isel i uchel. I ymdopi â hyn, dyfeisiwyd techneg sy'n cael ei galw'n 'upwinding' gan ymchwilwyr gwahaniaeth meidraidd.
Roedd addasu'r broses hon i bwysoliad tua'r gwynt o fath Petrov-Galerkin yng nghyd-destun brasamcanu elfennau meidraidd yn aneglur i ddechrau. Ar ôl llawer o ymdrech, roedd Olek yn gallu nodi'r ymagwedd gywir ac, yn dilyn arbrofi rhifiadol a mireinio damcaniaethol, disgrifiwyd dull ym 1977 yn y papur gyda Heinrich et al. (36) a fyddai'n caniatáu datrys problemau darfudol syml a hafaliadau anghywasg Navier Stokes dros ystod fawr o rifau Reynolds. Darparodd y datblygiad hwn o 'upwinding' mewn cyd-destun elfennau meidraidd sylfaen ddamcaniaethol nad oedd yn bodoli gynt.

Serch hynny, nid oedd y cam cyntaf hwn a oedd yn caniatáu trin problemau cyflwr sefydlog yn ddigonol, oherwydd nad oedd modd cyfiawnhau defnyddio dull tua'r gwynt Petrov Galerkin pan oedd termau ffynhonnell neu ddarfodedig yn bodoli. Yma, cymerwyd cam mawr ymlaen drwy gyflwyno proses nodweddiadol Galerkin, gan ddefnyddio nodweddion ymlediad tonnau'r rhain ynghyd ag optimeiddiad dulliau Galerkin ar gyfer y rhan hunan atgyd, trylediad, o'r broblem. Arweiniodd hyn at deulu newydd o algorithmau (37) a oedd yn caniatáu datrys ystod eang a newydd o broblemau. Yn yr algorithm a gynhyrchwyd, roedd y 'chwiliad' nodweddiadol yn cael ei drin drwy ehangiad Tayor syml, a gellid ei ail-ddehongli fel fersiwn elfennau meidraidd o ddull Lax-Wendroff a'u huniaethu hefyd â'r hyn a elwid yn ddull Taylor-Galerkin. Mae'r ail ddull yn gallu ymdrin â nifer o gyflymderau nodweddiadol, felly, roedd modd ei estyn i broblemau llif nwy cywasgadwy buanedd uchel erbyn diwedd y 1980au.

Mae anhawster mawr arall yn codi wrth ddadansoddi problemau llif gludiog anghywasg yn rhifiadol oherwydd yr hafaliadau cyfyngiad sy'n deillio o'r cyflwr anghywasg. Roedd dulliau confensiynol o ymdrin â hafaliadau cyfyngiad o'r fath, e.e. drwy ddefnyddio lluosyddion Lagrange ond er gwaethaf hyn, gwnaeth Godbole a Zienkiewicz ddefnyddio ymagwedd newydd, a mwy cyfleus o bosib, at ymdrin â'r cyfyngiadau hyn drwy ddull cosb am y tro cyntaf ym maes dadansoddi llif hylif drwy'r dull elfennau meidraidd ym 1974. Nododd Zienkiewicz a'i gydweithwyr gymwysiadau, gwelliannau ac estyniadau llwyddiannus i'r dull cosb ar gyfer llif plastig metelau, fformwleiddiad diriant tybiedig y dull elfennau meidraidd, trosglwyddo gwres, hafaliadau dŵr bas, darfudo naturiol a dadansoddid llif gludiog.

Cyfrannodd y grŵp yn Abertawe at ddadansoddiad elfennau meidraidd broblemau deinamig o'i flynyddoedd cynharaf yn y maes, gan gynnwys datblygiadau megis y matrics màs cyson (39) a gwaith Irons ar gynlluniau cyddwysiad. Cafodd y gwaith mewn deinameg adeileddol ei gyffredinoli ym 1973 (40), pan ddangosodd Zienkiewicz y gellid cael rhai o'r algorithmau cyfnodau amser drwy roi dulliau gweddilliol pwysol ar waith gyda hafaliadau mudiant. Yn ogystal, gellid creu rhai algorithmau nad oeddent wedi'u nodi o'r blaen fel hyn. Mae'r gwaith hwn yn rhan o'r syniad mwy cyffredinol o 'elfennau meidraidd' mewn amser' (41). Ar y cyd â W L Wood ac R L Taylor (42), dangosodd fod pwysoli fectorau dadleoli a chyflymdra sydd wedi'u rhyngosod yn annibynnol, sy'n cyfateb i ddull adnabyddus Newark mewn amgylchiadau penodol, yn caniatáu dewis cyfnodau amser ar sail ymateb adeileddol yn unig.

Peirianneg geo-dechnegol oedd ffocws sylw Olek am lawer o'i yrfa broffesiynol. Roedd ei waith cynharach yn y maes hwn yn gyfyngedig i broblemau màs creigiau ac ni ddechreuodd ei ddiddordeb mewn mecaneg pridd tan y 1970au. Yng nghyfeiriad (43), ar y cyd ag N J Naylor, addasodd y disgrifiad 'cyflwr critigol' modern a phoblogaidd o ymddygiad pridd i ddadansoddiad elfennau meidraidd. Heblaw am achosion llwyth cylchol, roedd hyn yn fodel effeithiol. Rhoddwyd cysylltiadau fisco-lastig ac anelastig cyfansoddol mwy traddodiadol, ynghyd ag algorithmau elfennau meidraidd ar waith yng Nghyfeiriad 31 ac, ar y cyd â G N Pande (44), archwiliodd nifer o ffurfiau posib ar arwynebau ildio ar gyfer mecaneg pridd a chreigiau. Parhaodd ei ddiddordeb mewn hylifiad ac, yng Nghyfeiriad (45) cyflwynwyd damcaniaeth newydd ganddo ef a'i gydweithwyr. Roedd llawer o'r problemau cysylltiedig â gweithrediad tonnau a sylfeini geo-dechnegol yn ymwneud ag amodau ffin wrth anfeidredd. Gwnaeth Zienkiewicz a'i gydweithwyr, yn fwyaf nodedig P Bettess, greu a chymhwyso teuluoedd o 'elfennau anfeidraidd' (46 a 47) i gyfrif am amodau o'r fath.

Cyfrannodd Zienkiewicz hefyd at lawer o feysydd cyfrifiadol eraill ond nid oes lle ond i gyfeirio'n gryno at rai o'r pynciau mwy diddorol. Yn gynnar yn ei yrfa cydweithredodd â B Fraeijs de Veubeke i drin fformiwleiddiadau plygu platiau yn seiliedig ar yr egwyddor gyflenwol a meysydd ffwythiant diriant tybiedig (48). Dychwelodd Zienkiewicz ac R L Taylor at y thema hon ym 1979 pan gyflwynant ddull yn seiliedig ar feysydd diriant tybiedig gan ddefnyddio'r ymagwedd ffwythiant cosb i orfodi amodau cyfyngiad hanfodol. Yn ystod y 1970au, taniwyd diddordeb Olek gan y cysylltiad rhwng y dulliau ffin integrol ac elfennau meidraidd. Cyflwynodd astudiaethau cynhwysfawr (49, 50) yn archwilio'r berthynas, a llwyddodd i'w gosod o dan fframwaith unedig.