Bu chwilio am ystyr a dirnadaeth yn y byd rydym yn byw ynddo yn llafur gwaith cenedlaethau o fathemategwyr a ffisegwyr theoretig.
Wrth chwilio am fodel ar gyfer ‘theori popeth’, sef fframwaith damcaniaethol sy’n esbonio'r holl ffenomenau ffisegol hysbys yn y bydysawd, daeth yr Athro Stephen Hawking i’r casgliad yn ei ddadansoddiad enwog y byddai fframwaith o’r fath y tu hwnt i’n cyrraedd ni am byth gan fod ein disgrifiadau o realiti bob amser yn anghyflawn.
“Erbyn hyn rwy’n falch na fydd ein tasg o chwilio am ddirnadaeth byth yn dod i ben ac y bydd gennym ni bob amser her darganfyddiadau newydd o’n blaenau.” Meddai’r Athro Hawking.
Mae ymddygiad cymhleth yn digwydd pan fydd system ffisegol neu fiolegol yn dangos nodweddion sy’n dibynnu nid yn unig ar ei rhannau unigol ond ar y ffordd mae’r rhannau hynny’n ymwneud â’i gilydd. Ar y graddfeydd bychain, gallai clystyrau o atomau ymdrefnu’n rhwydweithiau “sy’n meddwl” yn debyg i’r ymennydd dynol. Ar y graddfeydd canolig, gallai cytundeb barn mewn grwpiau mawr o anifeiliaid neu fodau dynol, megis yn achos llwybrau ymfudo neu’r cyfeiriad at adnodd, ddigwydd heb fod unigolion yn adnabod y rhain mewn ffordd weithredol. Ar raddfa fwy rydyn ni’n gweld hyn yn digwydd wrth i dyllau du a galaethau gael eu creu.
Mae modelu ymddygiad cyfunol nifer fawr o unigolion sy’n ymwneud â’i gilydd, er enghraifft wrth ragweld lledaeniad pandemig COVID-19, yn un o’r heriau mwyaf sylweddol sy’n wynebu gwyddoniaeth. Yn achos systemau syml, mae’n bosibl dilyn pob rhan unigol ac yna ddisgrifio’r ymddygiad yn fathemategol. Pan fydd nifer yr unigolion yn cynyddu, bydd system yn mynd yn rhy gymhleth a bydd hyd yn oed uwchgyfrifiaduron yn methu dilyn pob un o’r rhannau. Yn lle hynny, gellir defnyddio gwybodaeth gyfartalog am y system. Mae hyn yn arwain at hafaliadau aflinol o ran achosion o ryngweithio nad ydynt yn rhai lleol, ac yn ddiweddar dechreuodd hyn ddod i’r amlwg fel fframwaith newydd ar gyfer modelu ymddygiad cyfunol systemau amlgyrff. Hafaliadau aflinol o’r fath yw prif ffocws gwaith mathemategol yr Athro Vitaly Moroz.
Rhwng 2013 a 2015 ymgymerodd yr Athro Vitaly Moroz a’r Athro Jean Van Schaftingen (Coleg Prifysgol Louvaine, Gwlad Belg) â phrosiect ymchwil a fu’n astudio hafaliad Choquard. Tarddiad yr hafaliad aflinol hwn nad yw’n lleol yw modelau ffisegol systemau amlronynnau. Ar y graddfeydd macro gellir defnyddio hafaliad Choquard i fodelu sêr boson a lleugylchoedd galaethog â mater tywyll. Ar y graddfeydd atomig defnyddiodd yr Athro Roger Penrose yr un hafaliad i egluro’r berthynas rhwng mecaneg gwantwm a pherthynoledd cyffredinol.
Pan ddechreuodd yr Athro Moroz a’r Athro Van Schaftingen eu gwaith ar hafaliad Choquard, roedd y gymuned fathemategol yn gwybod fawr ddim am y pwnc. Eu gweledigaeth oedd y gallai hafaliad Choquard ddod yn fodel rhagorol i fathemategwyr ddatblygu dirnadaeth ddyfnach o ffenomena sy’n gysylltiedig ag ymddygiad cymhleth. Gan ddefnyddio dulliau gan gynnwys Calcwlws Amrywiant a Theori Potensial datblygwyd ganddynt fframwaith mathemategol trwyadl a oedd yn galluogi ymchwilwyr eraill i ddechrau gweithio ar y broblem.
Ymddangosodd canlyniadau eu hymchwil mewn pum papur ar bwnc hafaliad Choquard a gyhoeddwyd yn y cyfnodolion mathemategol rhyngwladol gorau rhwng 2013 a 2015. Dilynodd rhagor o bapurau yn 2016-17.
Cafodd y gwaith hwn gryn effaith ar y gymuned fathemategol bron yn syth gan greu maes ymchwil blaengar ar ei delerau ei hun. Ers 2013 mae mwy na dau gant o gyhoeddiadau mathemategol ar hafaliad Choquard wedi ymddangos ledled y byd, gan ddatblygu’r syniadau a ddaeth i’r amlwg yng ngwaith yr Athro Moroz a’r Athro Van Schaftingen. Mae gan eu papur craidd ar y pwnc fwy na 250 o ddyfyniadau (Scopus) ac ef yw un o’r papurau mathemategol a ddyfynnir fwyaf yn y DU yn 2013. Ar hyn o bryd, mae Web of Science yn rhestru pump o’u papurau ar y pwnc fel Papurau a Ddyfynnir yn Uchel ym maes Mathemateg (sef y dyfyniad yn yr 1% uchaf mewn maes mewn blwyddyn benodol). [Ar gyfartaledd, dim ond 30 o Bapurau a Ddyfynnir yn Uchel ym maes Mathemateg sy’n cael eu cyhoeddi yn y DU bob blwyddyn.]
Ar hyn o bryd, mae gan yr Athro Moroz gydweithredwyr ymchwil gweithredol sy’n rhychwantu saith gwlad wahanol ar draws tri chyfandir. Astudiaeth ryngddisgyblaethol o fiosefydlogrwydd nano-electromecanyddol mewn graffen yw un o’i brosiectau ymchwil diweddar, ar y cyd â’r Dr Richard Cobley yng Ngholeg Peirianneg Abertawe. Mae’r ymchwil damcaniaethol cynharach ar hafaliad Choquard wedi dylanwadu ar seiliau’r prosiect.
Yn y pen draw, mae’n canolbwyntio ar weithgynhyrchu modelau prototeip ar gyfer nano-ddyfeisiau newydd sy’n defnyddio llai o bŵer a chyfrifiannu cyflymach ar gyfer yr oes ddigidol ôl-silicon. Mae prosiect arall yr Athro Moroz, ar y cyd â chydweithwyr yn Tsieina, yn mynd i’r afael â rhai heriau mathemategol sylfaenol sy’n ymdrin â strwythur lleugylchoedd galaethol.
